Ztranszformáltjának

A Z-transzformáltja egy matematikai eszköz, amelyet elsősorban a diszkrét idejű jelek és rendszerek elemzésére használnak. Analóg a folytonos idejű jelekhez használt Laplace-transzformálttal, de míg a Laplace-transzformált a folytonos időt vizsgálja, addig a Z-transzformált a diszkrét időpontokban vett mintákat elemzi. A Z-transzformált egy diszkrét idejű jelet, $x[n]$, egy komplex síkon lévő függvényé, $X(z)$, alakít át. A definíciója a következő: $X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$, ahol $z$ egy komplex változó.

A Z-transzformált legfontosabb alkalmazásai közé tartozik a lineáris, időinvariáns (LTI) rendszerek vizsgálata, a rendszerek átviteli függvényének meghatározása, és a rendszerek stabilitásának elemzése. Az átviteli függvény, $H(z)$, megmutatja, hogyan reagál a rendszer egy bemenő jelre. A Z-transzformált segítségével a differenciaegyenletek is könnyebben megoldhatók, mivel a differenciaegyenletek helyett algebrai egyenleteket kapunk a $z$-tartományban.

Fontos fogalom a konvergencia tartománya (Region of Convergence, ROC). Ez azon $z$ értékek halmaza, amelyekre a Z-transzformált definíció szerinti sor konvergens. A konvergencia tartománya kulcsfontosságú a rendszer egyértelmű meghatározásához és stabilitásának megítéléséhez. A Z-transzformáltnak számos tulajdonsága van, mint például a linearitás, az időeltolás, a szorzás és a differenciálás, amelyek megkönnyítik a komplex rendszerek elemzését. A diszkrét idejű Fourier-transzformált (DTFT) is a Z-transzformált speciális esete, amikor $|z|=1$.