Vektorrommer

Et vektorrom (flertall: vektorrommer) er et sett V utstyrt med to operasjoner: addisjon + og skalar multiplikasjon ·, definert over et felt F. Vektorrommet oppfyller visse aksiomer: (V, +) er en Abelsk gruppe med nullelementet 0, og for alle a i F og v, w i V er a·v i V og (a+b)·v = a·v + b·v samt a·(v+w) = a·v + a·w. I tillegg gjelder 1·v = v for alle v i V. Feltet F kaller man den tellelige skalarverdiformen for vektorrommet.

Eksempler på vektorrom er mange: R^n med vanlig addisjon og skalar multiplikasjon er et vektorrom; mengden av alle polynomier med reelle koeffisienter er et vektorrom over feltet R; mengden av alle funksjoner fra et gitt domene til F er også et vektorrom, med funksjonsaddisjon og skalar multiplikasjon.

Underrom, base og dimensjon: Et ikke-tomt delsett U av V som er lukket under +

og under skalar multiplikasjon er et underrom. En base av V er en 込-sett av vektorer som er lineært uavhengige og som spaner hele V. Antall vektorer i en basis kalles dimensjonen til V. Alle vektorrom over samme felt og med samme dimensjon er isomorfe; i endelig dimensjon kan hvert vektorrom representeres som et rum av koordinater relativt til en basis.

Lineære avbildninger og matriser: En lineær avbildning T: V → W bevarer både addisjon og skalar multiplikasjon. Med valgt basis kan T representeres ved en matrise, og isomorfiske vektorrom har samme dimensjon. Vektorrommer utgjør en grunnleggende struktur i lineær algebra og brukes i geometri, fysikk og datateknikk.