Vektoriryhmät

Vektoriryhmä, eli vector group, on algebrallinen ryhmä, joka on k-kielellä isomorfinen additiivisen ryhmän Ga^n kanssa. Ga on yhden ulottuvuuden additiivinen ryhmä, Ga(k) = k, ja sen ryhmätoiminto on yhteenlasku. Ga^n(k) = k^n, ja ryhmälaki on komponenttikohtainen yhteenlasku: (x1,...,xn) + (y1,...,yn) = (x1+y1,...,xn+yn). Identiteetti on 0 = (0,...,0).

Ominaisuudet: Vektoriryhmä on abeliallinen ja yhdistetty algebrallinen ryhmä, joka on unipotent. Sen dimensiota kutsutaan sen luvuksi n, ja sen affiininen kuva on A^n. End(Ga^n) koostuu lineaarisista kuvista, ja rotuun liittyvät morphismit Ga^n → Ga^m vastaavat m×n-matriiseja, eli endomorfismit ovat lineaarisia.

Esimerkkejä: Yksittäinen Ga on pienin vektoriryhmä. Ga^n on sen n-kertainen suuruus. Lisäksi kaikkien k:n pistejoukkojen translaatiot affine-tilassa muodostavat vektoriryhmän, joka on isomorfinen Ga^n:ään, ts. translatiiviset liikkeet on parametrisoitu vektorien kautta.

Morfismit ja rakenne: Subryhmämahdollisuudet vastaavat lineaarisia alijoukkoja k^n:ssä; jokainen normaalijäsen on alijspace, ja tuloosuus Ga^n/V on Ga^{n-r}. Reaalinen Lie-algebran näkökulma Ga^n on n-ulotteinen abelilainen Lie-ryhmä, jonka Lie-kantaa kuvaa k^n.

Rooli ja sovellukset: Vektoriryhmiä käytetään perus rakennuspalikkana unipotenttien algebrallisten ryhmien teoriassa sekä linearisoitujen kuvauksien ja Liegrafojen yhteydessä. Ne toimivat usein työvälineinä suurempien algebrallisten ryhmien rakenteen ymmärtämisessä ja esittelyssä.