Variatsioonivõrrandiks

Variatsioonivõrrandiks, tuntud ka kui variatsiooniline formulatsioon, on matemaatiline kontseptsioon, mis kasutab funktsionaalide arvutust osadiferentsiaalvõrrandite (ODE) lahenduste leidmiseks. Selle asemel, et otsida funktsiooni, mis rahuldab võrrandit ja sellega seotud piirtingimusi igas punktis, otsitakse funktsiooni, mis minimeerib või nullib teatud funktsionaali. See funktsionaal on tavaliselt seotud võrrandi enda ja selle tuletistega.

Variatsioonilise lähenemise eelised seisnevad sageli selles, et see võimaldab kasutada tugevamaid ja paindlikumaid lahendusmeetodeid, eriti keerukate geomeetriliste alade ja ebapiisavate piirtingimuste korral. See on eriti oluline numbriliste lahenduste väljatöötamisel, kus lõplike elementide meetod (FEM) ja teised sarnased tehnikad põhinevad variatsioonilistel põhimõtetel.

Variatsioonivõrrandiks tekib sageli siis, kui osadiferentsiaalvõrranditeühiseid lahendusi muundatakse integraalideks. Näiteks Dirichlet'i või Neumanni piirtingimustega osadiferentsiaalvõrrandite puhul saab neid ümber sõnastada nii, et lahendatakse funktsionaal, mis on seotud energia või tööga. See variatsiooniline formulatsioon on aluseks paljudele rakendustele füüsikas, inseneriteaduses ja teistes teadusvaldkondades, kus osadiferentsiaalvõrrandeid kasutatakse reaalsete nähtuste modelleerimiseks.