Uuendusprotsessist

Uuendusprotsessist (renewal process) räägitakse kui stohastilisest protsessist, mille pealises arv N(t) näitab, kui palju uuendusi või sündmusi on toimunud ajani t. Protsessi alus on järjestikused positiivsed interarrivaliajad X1, X2, …, mis on iid jaotusega F ja mille oodatav väärtus μ = E[X1] on olemas. Esimene uuendus asetub ajast 0 ning nth uuendusajaks nimetatakse S_n = X1 + … + X_n. Seejärel N(t) = max{n ≥ 0: S_n ≤ t}.

Protsessil on independent increments: N(t2) − N(t1) on sõltumatu jaotusega ning sõltub ainult pikkusest t2 − t1. Jaotused on sama kui X_i-de jaotused jaotused, kuid need ei ole üldiselt ajast sõltuvad, välja arvatud Poissoniprotsessi puhul, kus interarrivalajad on eksponentsiaalsed ja N(t) on Poisson’i jaotusega ning inkrementide omadused on stabiilsed.

Mõisted ja teoreemid. Uuendusfunktsioon m(t) = E[N(t)] rahuldab uuenduste võrrandit m(t) = F(t) + ∫_0^t m(t − x) dF(x), kus F on X1 jaotuse cdf. Kui μ on lõplik, siis suurte t väärtuste korral m(t) ≈ t/μ, täpsemalt m(t) ~ t/μ kui t → ∞ (peamine uuendus teoreem).

Rakendused ja variandid. Uuendusprotsesse kasutatakse riskide ja varu planeerimisel, hooldus- ja garantiisüsteemide modelleerimisel, töökindluse analüüsis ning eri teenindus- ja päringusüsteemide uuringutes. Variandid hõlmavad viivitusega uuendusprotsesse ja uuendus-tulemusprotsesse (renewal-reward). Poissoniprotsess on eriti oluline erand, millel on lihtsad jaotused ja stabiilsed inkrementide omadused.