Tavoitefunktiot

Tavoitefunktio on optimoinnin keskeinen käsite. Se on päätösmuuttujien x määrittelemä funktio f(x), jonka arvoa pyritään minimoimaan tai maksimoimaan. Tavoitefunktion arvo mittaa päätösten laatua tai kustannustasoa; pienempi arvo voi tarkoittaa esimerkiksi pienempiä kustannuksia tai pienempää energiankulutusta. Optimointiprosessin tavoitteena on löytää optimaalinen ratkaisu x*, joka täyttää mahdolliset rajoitteet ja saavuttaa halutun tavoitefunktion arvon.

Yleisesti on kyse yhdestä tavoitefunktiosta (single-objective) tai useista (multi-objective). Monitavoitteisessa optimoinnissa tavoitteet voidaan yhdistää eri tavoin, esimerkiksi priorisoinnilla, kompromissiratkaisulla tai Pareto-tasojen hakemisella.

Tavoitefunktio voi olla lineaarinen tai epälineaarinen. Lineaarissa ohjelmoinnissa f(x) on lineaarinen yhdistelmä muuttujista, kun taas epälineaariset funktiot voivat sisältää polynomeja, eksponentiaaleja tai muita monimutkaisempia muotoja. Jos tavoitefunktio on konveksinen ja rajoitteet muodostavat konveksin joukon, ratkaisuja on usein helpompi löytää ja optimaalinen arvo voi olla globaali.

Rajoitteet ja ratkaisut: Tavoitefunktio toimii yleensä yhdessä rajoitteiden kanssa. Yleisiä rajoitteita ovat epäyhtälöt g_i(x) ≤ 0 ja yhtälöt h_j(x) = 0. Ratkaisumenetelmät jakautuvat gradienttimenetelmiin, Lagrangian- tai penalty-metodeihin sekä heuristisiin ja metaheuristisiin menetelmiin, joita käytetään erityisesti epälineaarisissa tai suurikokoisissa ongelmissa.