Séries

Les sèries són un concepte fonamental de les matemàtiques que descriuen la suma dels termes d’una successió. Una sèries infinita ∑ a_n és definida com el límit de la seqüència de sumes parcials S_N = a_0 + a_1 + ... + a_N, si aquest límit existeix. Si el límit és finit, la sèries convergeix i la seva suma és aquest límit; en cas contrari, divergeix.

La convergència depèn del comportament dels termes. Per a una sèries amb termes a_n, cal considerar si la succió dels sumes parcials convergeix. La sèries geomètrica,∑ r^n, convergeix quan |r| < 1; altres sèries, com les p-sèries ∑ 1/n^p, divergeixen si p ≤ 1 i converguixen si p > 1. Entre les eines per a tests de convergència hi ha el test de la ràtio, que mira el límit de |a_{n+1}/a_n|; el test de la arrel, que mira el límit de |a_n|^{1/n}; el test de comparació, que encadena la sèries amb una sèries coneguda; i, per sèries amb termes alternants, el test de la suma alterna (Leibniz). Una sèries és absoluta si ∑ |a_n| convergeix; en aquest cas convergeix també la sèries original.

Les sèries de funcions ∑ f_n(x) poden conèixer convergència punt a punt o uniforme; les sèries de potència ∑ c_n x^n tenen un radi de convergència R, i convergeixen per |x| < R (amb possibles cas de la vora). Les sèries també apareixen en àmbits com les sèries de Fourier, que representen funcions periòdiques, i en aplicacions de resolució d’equacions diferencials i en anàlisi numèrica.