Surjektivní

Surjektivní, v matematice označované jako onto, popisuje vlastnost funkce. Nechť f: A → B je funkce. Je surjektivní, pokud pro každé y z B existuje x z A tak, že f(x) = y. Jinými slovy obraz funkce f je celý kodomén, tedy f(A) = B.

Důležité je, že surjektivita závisí na volbě kodoménu. Funkce může být surjektivní vůči jednomu B, ale ne vůči většímu či jinému B. Např. f: R → R s f(x) = x^3 je surjektivní, zatímco f(x) = x^2 není surjektivní na R, protože záporná čísla v R nejsou v obrazu. Naopak na kodoménu [0, ∞) je surjektivní.

Příklady:

- f: {1,2,3} → {a,b}, definovaná f(1)=a, f(2)=b, f(3)=b, je surjektivní.

- f: N → N, f(n) = floor(n/2) je surjektivní na N, ale nemusí být jedinečná.

Vlastnosti a souvislosti:

- Surjektivní funkce má pravý inverz, tedy existuje g: B → A s f(g(y)) = y pro všechna y v B. Neexistuje-li surjektivita, pravý inverz obvykle neexistuje.

- Zvýší-li doménu nebo kodoménu, změňuje se, zda zůstává surjektivní.

- U konečných množin platí: existuje surjekce f: A → B jen tehdy, když velikost A je alespoň velikosti B ( |A| ≥ |B| ).

Surjektivita je klíčová pro popis pokrytí cílového prostoru a často se používá v konstrukcích quotientů, výčtech image a při určování existenci inverzních funkcí.