Sfäärid

Sfäärid on geomeetriline kujund, mis koosneb kõigist punktidest, mille kaugus kindlast keskpunktist on võrdne määratud raadiusega r. 3D ruumis on sfäär pind, kus iga punkt asub keskpunktist täpselt raadiusega r. Keskpunkti nimetatakse tavaliselt C ning raadiust r.

Geomeetriline kirjeldus: S^2(C,r) = { x ∈ R^3 : ||x − C|| = r }. Sfääri pind on kaksikkatega, siled ja homogeenne ning see on suurendava sümmeetrilise struktuuriga. Sõltuvalt kontekstist eristatakse sfääri ja selle sisemist osa – tahkekujulist palli B(C,r) = { x ∈ R^3 : ||x − C|| ≤ r }.

Omadused: sfääri pind on 4πr^2-ala ning sisemisel pallil oli sire 4/3πr^3. Kirjeldades kõrgemate mõõtmete sfääre, defineeritakse S^n(C,r) = { x ∈ R^{n+1} : ||x − C|| = r }. Nende pindade mõõtmed ja sümmeetriad erinevad vastavalt dimensioonile.

Näited ja rakendused: meie planeedi realistlik mudel on pall, mille raadius on umbes 6371 kilomeetrit. Sfääre on kasutusel arvutigraafikas, füüsikas ja astronoomias, näiteks keraatilised koordinaadid rakendustes, mis tegelevad punktide asukohtade kirjeldamisega kolmemõõtmelises ruumis. Kõige tavalisem soovituslik parametriseerimine sfääri jaoks on spheriline koordinaatide esitlus: x = r sinφ cosθ, y = r sinφ sinθ, z = r cosφ, kus φ ∈ [0,π] ja θ ∈ [0,2π).

Ajalooline kontekst: mõiste “sfäär” on olnud oluline ka astronoomias, kus ajalooliselt kujutati taevast kui sfääri, ümber Maa asuvat kummalise kesta või koort.