Polinomiális

Polinomiális vagy polinom olyan algebrai kifejezés, amelyet változók és konstansok összeadásával, kivonásával, szorzásával és nemnegatív egész kitevőjű hatványokkal lehet felépíteni. Leggyakoribb forma egyváltozós: P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, ahol a_n ≠ 0. Többváltozós polinomok P(x1,...,xm) a monomok összege, például P(x,y) = 3x^2 y + 5xy^2 + 7.

Koeficiensek általában egy gyűrűből vagy testből valók: például valós számokból álló R[x], vagy egész számokból Z[x]. A polinomok zártak a hozzáadással és a szorzással, és a null polinom is létezik. A legfőbb fokot a legnagyobb kitevő adja meg, a vezetőkoefficiens pedig az a_n. Null polinom esetén a fok nem értelmezett.

Gyökök és értékelés: a gyök egy olyan érték r, amelyre P(r) = 0. Egyváltozós polinomok gyökei lehetnek valós vagy komplex számok; a komplex számok feletti fundamentális tétel szerint egy nemtriviális polinomnak a gyökei száma az fokának megfelelő, a gyökök többszöröségeivel együtt. Valós gyökök és komplex gyökök egyaránt előfordulhatnak.

Alkalmazások és összefüggések: polinomokat használnak kifejezések felépítésére, gyökválogatáshoz, interpolációhoz (például Lagrange‑interpoláció), közelítéshez, deriváláshoz és integráláshoz. A polinomgyűrűk, például R[x], alapvető részei az algebrai elméleteknek.