Mozgásegyenlet

A mozgásegyenlet egy matematikai összefüggés, amely leírja, hogyan változik egy fizikai rendszer mozgása az időben. Általában a rendszer koordinátáinak és azok időbeli deriváltainak viszonyát adja meg, és kezdeti feltételekből kiindulva meghatározza a mozgást.

Klasszikus mechanikában a leggyakoribb formája Newton második törvénye: m d^2x/dt^2 = F(x,t). Többtömegű vagy többkoordinátás rendszernél ez egy halmazdifferenciálegyenlet, amelyet a generalized coordinates q_i(t) használatával írunk fel. A Lagrange-formalizmusban az Euler–Lagrange-egyenletek: d/dt (∂L/∂q̇_i) − ∂L/∂q_i = 0, ahol L = T − V.

A Hamilton-formalizmus szerint a mozgást Hamilton-egyenletek írják le: dq_i/dt = ∂H/∂p_i, dp_i/dt = −∂H/∂q_i, a rendszer állapotát pedig a (q,p) koordinátarendszerben adjuk meg. Ezek a formák a kölcsönhatásokkal, korlátozásokkal és energiaelvekkel szoros összefüggésben használhatók.

Példák közé tartozik az egyszerű harmonikus oszcillátor, a perdülő inga, a bolygómozgások és a különböző dampolási vagy külső hajtási hatásokkal bővített rendszerek. A mozgásegyenlet megoldása függ a kezdeti állapottól, és gyakran szükség van numerikus módszerekre.

A kvantumelméletben is alkalmaznak mozgásegyenleteket: a Schrödinger-egyenlet vagy a Heisenberg-képeiben az időfejlődés dinamikát írja le. Összességében a mozgásegyenlet a fizikai rendszerek dinamikáját leíró fő eszköz, amely különböző formalizmusokban jelenik meg.