Mængder

Mængder er grundlæggende i matematik. En mængde er en samling af objekter, kaldet elementer. Elementerne i en mængde er veldefinerede og uden gentagelser. En mængde kan være tal, objekter eller endda andre mængder. Den kan angives ved udvælgelse, som A = {2, 4, 6}, eller ved beskrivelse, f.eks. A = {x ∈ N | x < 10 og x er lige}.

En mængde kan være endelig eller uendelig. Den tomme mængde Ø har ingen elementer, og det universelle sæt U indeholder alle objekter under betragtningen. Eksempler: N er mængden af naturlige tal, Z af hele tal, Q af rational tal og R af reelle tal.

Hvis alle elementer af A også findes i B, siger man, at A er en delmængde af B (A ⊆ B). Hvis A ⊆ B og A ≠ B, kaldes A en ægte delmængde (A ⊂ B). Operationer på mængder inkluderer unionen A ∪ B, snittet A ∩ B og differensen A \ B, hvor elementer kun i A medtages.

Kardinaliteten af en mængde betegnes med |A| og angiver antallet af elementer. Hvis mængden er endelig, er |A| et heltal; for uendelige mængder er kardinaliteten også uendelig.

En funktion f fra A til B kan ses som en mængde af ordnede par (x, f(x)) med x ∈ A; hvert x får præcis ét billedpunkt i B.

Mængder danner grundlag for mange beviser og konstruktioner i matematik og bruges til at beskrive og sammenligne samlinger og relationer i en klar, præcis form.