Lipschitzfüggvény

Lipschitz-függvény olyan függvény, amely két távértékelési rendszer között egy adott, egész számnál kisebb vagy nagyobb konstansszal korlátozza a bemenetek közötti különbségek hatását. Pontosabban: Legyenek (X, d_X) és (Y, d_Y) metrikus terek, és f: X → Y. F f Lipschitz-függvény, akkor létezik K ≥ 0 olyan, hogy minden x1, x2 ∈ X esetén d_Y(f(x1), f(x2)) ≤ K d_X(x1, x2). A legkisebb ilyen K-t Lipschitz-állandónak nevezzük. Ha K = 1, f 1-Lipschitz.

Működési következmények: A Lipschitz-függvények mindig egyenletesen folytonosak, és ezért összefonóak a konvergenciai kérdésekkel is. Kontinuitásukat és erősségüket a Lipschitz-állandó adja meg. Számos művelet megtartja a Lipschitz-tulajdonságot: a f és g Lipschitezése után a f + g és a λf is Lipschitz, és a kompozíciójuk is Lipschitz a megfelelő konstansokkal. Ha f Lipschitz, akkor minden konvergens vagy határértékhez tartozó viselkedés is kontrollálható. Konkrétan, konvergens térképeknél a kontrakciós elv alapján (K < 1) létezik egy egyedi fixpont.

Példák: A valós számok között f(x) = ax + b Lipschitz a valóságos mérték szerint, és Lipschitz-állandója |a|. Az f(x) = sin(x) minden x∈R-re 1-Lipschitz, mivel |sin x − sin y| ≤ |x − y|. A n dimenziós síkban f(x) = ||x|| a természetes, 1-Lipschitz függvény, azaz | ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||.

További megjegyzések: Euklideszi környezetben a lokálisan Lipschitz függvények denzitje a kötött tartományon belül garantált; ha f d/dx f = ∇f folyamatos, akkor helyileg Lipschitz. Eredmények: Lipschitz függvények R^n → R^m esetén Rademacher-tétel szerint a függvény a mérhető pontokon a deriváltjuk szonikmértékig differenciálható.