Lineaarikuvauksella

Lineaarikuvauksella, tunnettu myös nimellä lineaarimuunnos tai lineaarirepresentaatio, on keskeinen käsite lineaarialgebrassa. Se on funktio kahden vektoriavaruuden välillä, joka säilyttää vektoriavaruuden rakenteen. Tämä tarkoittaa, että lineaarikuvauksella on kaksi perustavanlaatuista ominaisuutta: summan säilyttäminen ja skalaarilla kertomisen säilyttäminen.

Formaalisti, olkoot V ja W kaksi vektoriavaruutta saman skalaarikunnan yli. Kuvaus $T: V \to W$ on lineaarinen, jos kaikille vektoreille $u, v \in V$ ja kaikille skalaareille $c$ pätee:

1. Summan säilyttäminen: $T(u + v) = T(u) + T(v)$

2. Skalaarilla kertomisen säilyttäminen: $T(c u) = c T(u)$

Nämä ominaisuudet takaavat, että lineaarikuvaukset "kuvaavat suoria suoriksi" ja "origon paikalleen". Lineaarikuvaukset ovat tärkeitä monilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa, kuvankäsittelyssä ja kvanttimekaniikassa. Lineaarikuvauksen voi esittää matriisina, kunhan vektoriavaruuksille on valittu kannat. Tällöin kuvauksen soveltaminen vektoriin vastaa matriisin kertomista vektorin kanssa. Matriisirepresentaatio tekee lineaarikuvauksista helposti käsiteltäviä ja laskettavia.