Limitët

Limitët janë një koncept themelor në matematikë që përshkruan vlerën që një radh (ose një funksion) afrohet kur hyrja shkon drejt një pike të caktuar ose drejt pafundësisë. Në kontekstin e radhëve, limiti i radhës a_n ekziston nëse ka një vlerë L që a_n i afrohet kur n rritet pa fund. Në kontekstin e funksioneve, limiti lim_{x→c} f(x) përshkruan vlerën që f(x) afrohet të marrë kur x afrohet drejt pikës c, duke përjashtuar vlerën në pikën së njësi kur është e nevojshme.

Për një radh a_n, lim_{n→∞} a_n = L do të thotë se për çdo ε>0 ekziston një N ∈ N i tillë që për të gjitha n ≥ N, |a_n - L| < ε. Nëse ekziston, radhja konverjon drejt L. Për një funksion f dhe një pikë c, lim_{x→c} f(x) = L nëse për çdo ε>0 ekziston një rreth i afërt i pikës c me x ≠ c të tillë që |f(x) - L| < ε për të gjitha x brenda këtij rrethi.

Limiti mund të jetë i njëanshëm: lim_{x→c^+} f(x) dhe lim_{x→c^-} f(x). Limiti i një funksioni kur x shkon drejt pafundësisë është: lim_{x→∞} f(x) = L ose lim_{x→-∞} f(x) = L. Nëse këto kushte nuk ekzistojnë, themi se limiti nuk ekziston.

Shembuj: lim_{n→∞} 1/n = 0; lim_{x→0} (sin x)/x = 1; lim_{x→∞} (3x+2)/(x+1) = 3. Limitët janë themelor për analizën matematikore dhe mbështesin konceptet e konvergjencës, derivatave dhe integraleve.