Kalmansuodatuksen

Kalmansuodatuksen tarkoituksena on tarjota rekursiivisesti päivitetty tilan estimaatti dynaamisesta järjestelmästä, jossa sekä tilan evoluutio että mittaukset sisältävät kohinaa. Se on keskeinen tilan estimointiin tarkoitettu menetelmä, joka soveltuu reaaliaikaiseen analysointiin ja päätöksentekoon.

Kalmansuodatuksen historia ulottuu Rudolf E. Kalmanin 1960-luvulla kehittämään teoriaan. Se on vaikuttanut merkittävästi navigaatiossa, ohjauksessa, robotiikassa ja signaalinkäsittelyssä, ja sitä on sovellettu sekä sotilas- että siviilikäytössä sekä teollisissa prosesseissa.

Perusmalli perustuu lineaariseen dynamiseen järjestelmään, jossa tilastolliset mallit kuvaavat tilan x_k ja mittaus z_k. Järjestelmä määritellään tilan siirtymäyhtälönä x_k = F_k x_{k-1} + B_k u_{k-1} + w_{k-1} ja mittausmallina z_k = H_k x_k + v_k, missä w_k ja v_k ovat valtimo(kohina)prosessi- ja mittaushäiriöitä, joille oletetaan normaalijakauma N(0,Q_k) ja N(0,R_k).

Algoritmi toimii rekursiivisesti kahdessa vaiheessa: ennuste ja päivitys. Ennuste: x̂_k|k-1 = F_k x̂_{k-1|k-1} + B_k u_k; P_k|k-1 = F_k P_{k-1|k-1} F_k^T + Q_k. Päivitys: K_k = P_k|k-1 H_k^T (H_k P_k|k-1 H_k^T + R_k)^{-1}; x̂_k|k = x̂_k|k-1 + K_k (z_k - H_k x̂_k|k-1); P_k|k = (I - K_k H_k) P_k|k-1. Kalman-korjauksen avulla parannetaan tilaarviota mittauksilla.

Laajennukset kattavat epälineaarisia malleja kuten EKF ja UKF sekä erilaiset matriisien factorisoinnit. Kalmansuodatusta käytetään muun muassa navigaatiossa, robotiikassa, viestinnässä ja taloudellisessa estimaatiossa.