Invariáns

Invariáns olyan tulajdonság vagy mennyiség, amely egy adott transzformáció vagy reláció hatására változatlan marad. A fogalom központi szerepet játszik matematikában, fizikában és számítástudományban, ahol objektumok osztályozására, egyenlőségük vizsgálatára és megőrződési törvények megfogalmazására szolgál.

Matematikában invariánsok segítenek osztályozni struktúrákat ekvivalencia szerint: például mátrixoknál az előjeles determináns és a nyom invariáns a hasonlósági transzformációkra; topológiában a genus vagy a Betti-számok topológiai invariánsok. Algebrai invariánsok, mint a rács szerkezete vagy csoportok rendje, megkülönböztetnek nem izomorf objektumokat.

A fizikában az invariánsok a szimmetriákhez kötődnek: Noether-tétel szerint folytonos szimmetriák megőrződő mennyiségeket — energiát, impulzust, töltést — eredményeznek. Relativitáselméletben a téridő intervalum invariáns Lorentz-transzformációk alatt.

A számítástudományban a programverifikációban használt ciklusinvariáns olyan állapottulajdonság, amely minden iteráció után igaz marad, és segít korrektségi bizonyításokban. Gépi tanulásban és képfeldolgozásban invariáns reprezentációk fontosak a transzformációkkal szembeni robusztusság érdekében.

Invariánsok elmélete gyakran konstruktív módszereket kínál: invariánsok építése, kiszámítása és alkalmazása osztályozási és optimalizálási feladatokra. Széles alkalmazási körük miatt az invariánsok megértése alapvető eszköz a matematikai struktúrák és fizikai rendszerek vizsgálatában.