Identitetskonvergens

Identitetskonvergens er et matematisk begrep som beskriver at en følge av kart eller operatører konvergerer mot identitetsfunksjonen på et gitt rom eller område. Gitt et sett X og en følge av funksjoner f_n: X -> X, sier man at f_n konvergerer mot identiteten på X, skriftlig f_n -> id_X, hvis for hver x i X følger f_n(x) x, i en valgt konvergensdefinisjon. I metrisk rom blir det ofte snakk om punktvis eller uniform konvergens; uniform konvergens innebærer at sup_{x i X} d(f_n(x), x) -> 0.

I funksjonsrom og i operatorteori brukes ofte konvergens i sterkere topologier. Hvis X er et normert rom og T_n er lineære operatorer T_n: X -> X, konvergerer T_n mot identiteten i operatornorm dersom ||T_n - I|| -> 0. I slike situasjoner sies det at T_n nærmer seg identiteten, eller konvergerer i operatornorm.

Anvendelser finnes i perturbasjonsteori, hvor små endringer i en operator tilnærmer identiteten, i numerisk analyse for å beskrive metoder som etter hvert blir uforandrede gjennom iterasjon, og i dynamiske systemer for å beskrive stabilisering mot identitet.

Relaterte konsepter inkluderer konvergens av funksjoner, identitetsfunksjon generelt og approximate identities i C*-algebras. Viktig er at typen konvergens som brukes, påvirker hva som er meningsfullt; punktvis konvergens gir ikke nødvendigvis uniform konvergens.