Hatványával

Hatványával a hétköznapi matematikai nyelvben a hatványozás műveletére utaló kifejezésnyelvi forma egyik része lehet, de a közvetlen definíciót a hatvány fogalma adja meg. A hatványozás során egy számot egy meghatározott kitevő szerint emelünk a hatványára. Ha az alapot A-nak, a kitevőt pedig n-nek írjuk, akkor az A^n jelöli az A hatványát.

A hatvány fogalmának alapelvei a következők. Ha n pozitív egész, akkor A^n = A × A × ... × A (n-szer). A kitevő általánosabban értelmezhető egész, törtszám vagy valós szám esetén is, és ilyenkor a megfelelő általánosításokat használjuk. Fontos speciális esetek: A^0 = 1 (ha A ≠ 0), A^(-n) = 1/A^n (ha A ≠ 0). Nullára nézve: 0^n = 0 (n > 0); 0^0 és a negatív kitevők esetében kontextustól függő konvenciók léteznek, általános értelemben ezek nem adnak egyszerű értéket.

A hatványozási szabályok a következők: (ab)^n = a^n b^n; a^m a^n = a^(m+n); (a^m)^n = a^(mn); (a^m)/(a^n) = a^(m-n) (a ≠ 0). Törtszámú kitevőknél a kitevő p/q esetén a^(p/q) a q-adik gyökér emelt p-dik hatványa, gyakran írva: a^(p/q) = (q-th gyök) of (a^p) (feltéve, hogy a megfelelő síkon értelmezhető).

Az exponenciális függvények, például e^x, és a logaritmus kapcsolata az exponenciáció invers műveletei. A hatványok alkalmazása széles körben előfordul a természettudományokban, gazdaságtanban és a számítástechnikában.