Funzioni

Le funzioni sono concetti fondamentali in matematica che descrivono una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio, in cui a ogni elemento del dominio è associato uno e un solo elemento del codominio.

La notazione più comune è f: X → Y, con f(x) l’immagine di x. X è il dominio, Y il codominio; l’insieme delle immagini di tutti gli elementi di X è l’immagine di f.

Una funzione può essere iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte; è suriettiva se l’immagine coincide con il codominio; è bijettiva se è entrambe.

Se f è bijettiva, esiste una funzione inversa f^{-1}: Y → X. La composizione di funzioni f ∘ g definisce una nuova funzione e, in genere, è associativa. L'identità su X è la funzione id_X(x) = x.

Esempio: f(x) = x^2 è una funzione da R a R ma non è iniettiva su R; restringendo il dominio a [0, ∞) diventa iniettiva e ammette l’inversa g(y) = √y.

Classi comuni includono funzioni polinomiali, razionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, e funzioni a pezzi; si studiano proprietà come dominio, continuità, derivabilità e limiti.

Dal punto di vista grafico, il grafico di una funzione è l’insieme di tutte le coppie (x, f(x)). La continuità descrive la mancanza di salti; i limiti analizzano il comportamento della funzione vicino a punti di interesse.

In informatica, la parola funzione può riferirsi a blocchi di codice che accettano parametri e restituiscono un valore.