Funktsiyalarda

Funktsiyalarda — bu matematik tushuncha bo’lib, ikki to’plam orasidagi munosabatni ifodalaydi. Funktsiya A to’plamidan B to’plamiga yo’naltirilgan bo’lib, har bir A ning elementiga yagona B dan mos keluvchi element tayin qiladi. Oddiy notatsiya f: A → B shaklida keltiriladi, va f(a) yoki f(x) deb yoziladi. Qisman funktsiya esa A ning ba’zi elementlariga mos keluvchi qiymatlarni belgilaydi; ba’zan esa barcha A a’zolariga mos kelishi majburiy bo’lmagan bo’ladi.

Domen — funktsiya tomonidan qabul qilinadigan argumentlar to’plami (odatda A), kodomen — natijalar to’plami (odatda B), rang esa funktsiya tomonidan berilgan qiymatlar to’plamidir (odatda f(A) yoki f’siz qo’shimcha moslamada ko’rinadi). Funktsiyalarda ko’pincha hamma elementlar uchun aniqlik mavjudligi nazarda tutiladi; qisman funktsiyalarda bu shart yo’q bo’lishi mumkin.

Xususiyatlar: injektiv (har bir B ga mos keluvchi rangli element faqat bitta A a’zosiga mos keladi), surjektiv (kodomenning har bir elementiga kamida bir olti mos keladi), bijektiv (ikkala xususiyatni bir vaqtda qondiradi). Funksiyalarning grafi tushunchasini ham ko’rib chiqiladi.

Operatsiyalar: funktsiyalarni birlashtirish (kompozitsiya) g ∘ f deb yoziladi; bijektiv funktsiyalar uchun bartaraf etuvchi (invers) mavjud bo’lib, f⁻¹ B → A yo’nalishda aniqlanadi. Misol sifatida f(x) = x², domeni R bo’lsa, natija [0, ∞) bo’ladi; to’liq inversa mavjud emas, faqat x ≥ 0 ga cheklab f⁻¹(y) = √y bo’lishini olish mumkin.