Fraktáldimenziót

A fraktáldimenzió (fraktál-dimenzió) a geometriai objektumok összetettségének mértéke, amely a részletek skálázódását írja le. A hagyományos, integer dimenzióktól eltérően gyakran nem egész számú értéket vesz fel, és a megfigyelés felbontásától függően változik. E mérték segítségével jellemezhetők a fraktálok vagy más, nagyon összetett alakzatok.

Leggyakrabban használt definíciók közé tartozik a box-counting (doboz- vagy doboz-számítási) dimenzió és a Hausdorff dimenzió. A box-counting dimenzió D = lim_{ε→0} log N(ε) / log(1/ε), ahol N(ε) a halmazt lefedő legkisebb számú ε×ε méretű dobozok száma. A Hausdorff dimenzió ennél finomabb fogalom, amely a halmaz mértékét különböző küszöbértékek alapján adja meg.

Jellemzők: a fraktáldimenzió gyakran nem egész érték, és a részletek minden kiválasztott skálán jelen lehetnek. Klasszikus példák közé tartozik a Cantor-halmaz (D = log 2 / log 3 ≈ 0,631), a Sierpiński háromszög (D ≈ 1,585) és a Koch-hullámvonal (D ≈ 1,261). Vannak konstrukciók, amelyekhez a dimenzió közelít a 2-höz, miközben a forma nem tölti ki teljesen a síkot.

Alkalmazások: a fraktáldimenziót számos területen használják a felületek és textúrák érdességének és összetettségének kvantifikálására, például geológiában, orvosi képelemzésben, számítógépes grafikában és idő-sorozatok jellegzetességeinek vizsgálatában.