EulerLagrangeligningerne

EulerLagrange ligningerne, også kendt som Lagranges ligninger, er et sæt af andetordens partielle differentialligninger, der opstår i forbindelse med variationelle metoder i fysik og andre grene af videnskaben. De udtrykker princippet om mindste virkning, som siger, at et fysisk system vil bevæge sig på en sådan måde, at en mængde kaldet virkningen minimeres. Virkningen er defineret som integralet af Lagrangens funktion over tid. Lagrangen er typisk forskellen mellem systemets kinetiske energi og dets potentielle energi. For et system med generaliserede koordinater $q_i$ og tilhørende generaliserede hastigheder $\dot{q}_i$, er EulerLagrange ligningen for hver koordinat givet ved:

$\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) = 0$

hvor $L = T - V$ er Lagrangens funktion, $T$ er den kinetiske energi, og $V$ er den potentielle energi. Disse ligninger giver en systematisk måde at udlede bevægelsesligningerne for et system på, især i situationer, hvor der anvendes begrænsninger eller ikke-kartesiske koordinater. De er fundamentale i klassisk mekanik, men finder også anvendelse i elektromagnetisme, kvantefeltteori og andre områder af teoretisk fysik. Ligningerne blev først introduceret af Leonhard Euler og senere udvidet af Joseph-Louis Lagrange.