Ekvivalentsiaalset

Ekvivalentsiaalset on mõiste, mida kasutatakse matemaatikas seoste kirjeldamiseks, mis jagavad elemendid gruppidesse. Kahe elementi öeldakse ekvivalentsiaalseteks ehk kuuluvat sama ekvivalentsiaalset klassi vastava ekvivalentsiaalse suhte korral. Ekvivalentsiaalne seos on relatsioon, mis on refleksiivne (iga element on sellega seotud iseendaga), sümmeetriline (kui a on seotud b, siis b on seotud ka a) ja transitiivne (kui a on seotud b ja b on seotud c, siis a on seotud ka c).

Ekvivalentsiaalsete klasside mõiste laiemaks kasutuseks defineeritakse klas [x] = { y ∈ X | y ~ x }. Kogu X jaotub nende klassideks; iga element kuulub täpselt ühte klassi ja igas klassis olevate liikmete vahel on ekvivalentsiaalne seos. Sellest tulenevalt tekib hulk X/~, ehk ekvivalentsiaalsete klasside kogu, mis on samaaegselt X-i jaotamine klassideks.

Näited:

- Täisarvud koos modulo n kongruentsusega: x ~ y kui n jagub (x − y). Näiteks 7 ja 2 on ekvivalentsiaalsetel, kui arvestada modulo 5.

- Võrdlemisreegel x ~ y, kui x = y (ettemääratud võrdsus on triviaalne ekvivalentsiaalne seos).

Ekvivalentsiaalset omab ka omadusi, mis on invariantsed ekvivalentsiaalsetes klassides: omadus P on ekvivalentsiaalne, kui iga x ~ y korral P(x) = P(y). Ekvivalentsiaalsed klassid ja nende jaotus on aluseks paljude konstruktsioonide, sealhulgas teisendite ja kvosiidite (nt ühtlustamised) teoreetilises ja rakulises matemaatikas.