Diskretisointimenetelmiä

Diskretisointimenetelmät ovat laskennallisia tekniikoita, joilla jatkuvat mallit, kuten differentiaaliyhtälöt ja signaalit, esitetään diskreetteinä malleina tietokoneilla. Tällöin tilaa ja/tai aikaa jaetaan verkkoon tai basisfunktioihin, jolloin saadaan algebraisia yhtälöitä ratkaistaviksi. Diskretisointia käytetään laajasti sekä differentiaali- ja integrolaskennassa että simulaatioissa, joissa tarkkuus ja kustannukset on tasapainotettava.

Paikkadiskretisoinnilla pyritään esittämään avaruudellinen muutos asteittain jaettujen pisteiden kautta. Tunnetuimpia menetelmiä ovat finite difference -menetelmä (FDM), joka käyttää likimääräisiä derivaattoja solmukohtien ympärillä; finite element -menetelmä (FEM), jossa ratkaisu koostuu pienistä elementeistä ja variational-muodosta; finite volume -menetelmä (FVM), joka säilyttää määrällisesti konserveerattavia suureita kuten massan tai energian; sekä spektriset menetelmät, jotka käyttävät korkea-asteisia basisfunktioita suurien tarkkuuksien saavuttamiseen.

Aikadiskretisoinnilla ratkaistaan ajasta riippuvia ongelmia. Yleisiä ovat explicit- ja implicit-askelmitat. Esimerkkejä ovat Eulerin menetelmä sekä Runge–Kutta -perheet, implicit Backward Euler ja Crank–Nicolson. Erityisesti jäykissä ongelmissa epäekvivalenssilla on merkitystä, ja implicit ratkaisut voivat olla vakaampia hitaammilla, mutta kestävämmillä askelko'oilla.

Keskeisiä käsitteitä ovat johdonmukaisuus, stabiilius ja konvergenssi. Laxin ekvivalenssiteoreema osoittaa, että linearisissa ongelmissa johdonmukaisuus ja stabiilius takaavat konvergenssin. Lisäksi verkon tiheys, virhemaisuudet ja adaptatiivinen meshin hienosäätö vaikuttavat lopulliseen tarkkuuteen ja laskennalliseen kustannukseen. Diskretisointimenetelmät muodostavat perustan nykyaikaisille simulointiohjelmistoille monilla tieteen ja teknologian osa-alueilla.