Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek olyan matematikai egyenletek, amelyekben egy vagy több ismeretlen függvény deriváltjai szerepelnek, és ezek deriváltjai közti viszonyt adják meg. A differenciálegyenletek két alapvető típusa a rendes differenciálegyenletek (ODE-k) és a parciális differenciálegyenletek (PDE-k). ODE-ket általában egyetlen független változó függvényére írunk fel; PDE-ket pedig több független változóra írunk fel.

Példák: az ODE-k közé tartozik a dy/dx = ay és a d2y/dx2 + ω2 y = 0. PDE-k közé sorolható a Laplace-egyenlet ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0, a hővezetési egyenlet ∂u/∂t = α ∂2u/∂x2 és a hullámegyenlet ∂2u/∂t2 = c2 ∂2u/∂x2.

Megoldási módszerek szerint a differenciálegyenleteket lehet analitikusan megoldani zárt formában, vagy numerikus módszerekkel közelítő megoldást találni. ODE-knél gyakori módszerek a Euler-, a Runge-Kutta- és más lépéssorozatok; PDE-knél a véges differenciák, véges elemek vagy spektrális módszerek használata terjedt el. Szintén fontosak létezés- és egyediségi tételek, amelyek azt garantálják, hogy adott kezdeti és/vagy szélsőérték-adatok mellett a megoldás létezik és egyedi, bizonyos feltételek mellett.

Alkalmazások széles körben fordulnak elő fizikában, mérnöki tudományokban, hő- és tömegátadási folyamatokban, mechanikában, elektromágnesességben, biológiában, gazdasági modellezésben és pénzügyi matematikában is, például a Black-Scholes-modellhez kapcsolódó PDE-k formájában.