Derivaatiossa

Derivaatio on funktion hetkellinen muutosnopeus. Se kuvaa, kuinka nopeasti f(x) muuttuu tietyllä x-arvolla. Määritelmä: f'(x) = lim_{h→0} (f(x+h) - f(x))/h, jos raja on olemassa. Kun raja on olemassa, sanotaan, että funktio on derivoitava pisteessä x. Derivaatio antaa parhaan lineaarisen lähestymän muutoskäyrän ympärillä: f(x+h) ≈ f(x) + f'(x) h, kun h on pieni.

Notaatio ja laajemmat tilanteet. Yksinkertaisessa tapauksessa merkataan f'(x) tai dy/dx. Monimutkaisemmissa tapauksissa käytetään Df(x) tai Jacobian-matriisia. Jos funktio f: R^n → R on, sen gradientti ∇f(x) koostuu osittaisderivoista ∂f/∂x_i ja antaa suurimman kasvun suunnan. Monimuuttujissa derivaatio on lineaarinen kartta, joka kuvaa pienen muutoksen vaikutuksen.

Keskeiset säännöt ja tulkinnat. Peruslaskusäännöt: derivaatta on lineaarinen: (f+g)' = f' + g'; (c f)' = c f'; sekä (fg)' = f' g + f g'. Ketjusääntö: (f∘g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x). Toisen kertaluvun derivaatio f''(x) mittaa muodon muutoksen nopeutta. Derivaatio mahdollistaa tangentin ja pienimuotoisen lähestymän kuvaamisen.

Sovelluksia ja esimerkit. Esimerkkejä: f(x) = x^2 → f'(x) = 2x; f(x) = sin x → f'(x) = cos x; d/dx sin(3x) = 3 cos(3x); d/dx (x sin x) = sin x + x cos x. Monimuuttujissa: f(x,y) = x^2 + y^2, gradientti ∇f = (2x, 2y). Käytännön merkitys: liike- ja fysikaaliset suureet, optimointi sekä taloustiede. Historia: derivaatio kehittyi 1600-luvulla Isaac Newtonin ja Gottfried Wilhelm Leibnizin työn myötä.