Bayesianinversiooni

Bayesianinversio, eli bayesilainen inversio, on tilastollinen lähestymistapa inverse-probleemeihin, jossa tuntemattomat suureet m pidetään satunnaisina ja niille määritellään priorijakauma. Mittaukset y liittyvät forward-malliin F kannan mukaan y = F(m) + ε, ja mittausvirhe ε mallinnetaan yleisesti epävarmuusmallilla, esimerkiksi ε ~ N(0, Σ). Bayesin säännön avulla muodostetaan posteriorijakauma p(m|y) ∝ p(y|m) p(m), jossa p(y|m) on todennäköisyysmalli ja p(m) aiempi tieto parametreista. Posteriorista voidaan sekä saada parametrit ja niiden epätarkkuuden hajonnat että tuottaa ennusteita, esimerkiksi posterior predictive distributionin kautta.

Kun malli on lineaarinen ja mittausvirheet Gaussian, posteriori on analyyttinen ja Gaussin muotoinen. Muissa tapauksissa ei välttämömästi saada sulkeutunutta tulosta, minkä vuoksi käytetään numeerisia menetelmiä kuten Markovin ketjujen Monte Carlo -menetelmiä (MCMC), tärkeystekniikoita, SMC:tä tai variational inferencea kehittyneiden likimääräisten ratkaisutavoitteiden saavuttamiseksi.

Bayesian inversio yhdistää regulaation ja epävarmuusmallin: prioreita voidaan käyttää aiemman tiedon ja fysikaalisten rajoitteiden mukaan, ja hierarkiset mallit voivat kuvailla sekä mittaus- että mallivirhettä. Tämä lähestymistapa mahdollistaa epävarmuuden vaikutusten ottamisen huomioon tulkinnassa, kokeiden suunnittelussa ja ennusteissa.

Sovellusalueita ovat geofysiikka, lääketieteellinen kuvantaminen, ympäristötutkimus ja ilmastomallit, mutta menetelmä on laajasti sovellettavissa minkä tahansa epätarkan inverse-tehtävän äärellä. Haasteina on suurten forward-mallien laskennallinen kustannus, prioreiden valinta sekä mallivirheen huomioiminen.