Asszociatív

Asszociatív (asszociatív tulajdonságú) egy bináris művelet jellemzője, amely kielégíti az asszociativitási törvényt: minden elemkre a halmazon adott műveletre vonatkozóan (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c). A bináris műveletet gyakran jelölik a vagy jelöléssel, például +, × vagy a függvénykompozíció ∘, hogy szemléltessék az összegzés vagy összefűzés módját.

Példák közé tartozik az összeadás és a szorzás a valós vagy egész számok halmazán, mert ezek a műveletek bármely három elemre is megőrzik az említett egyenlőséget. A függvények összegyűjtése is asszociatív: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h). A mátrixok szorzása szintén asszociatív. Fontos megjegyezni, hogy az asszociativitás nem implies a commutativitást: például a kivonás általában nem asszociatív, és két művelet eredménye különbözhet az értékek sorrendjétől.

Kapcsolódó fogalmak és szerkezetek: egy halmazon, amelyen van egy asszociatív bináris művelet, identitás eleme jelenlétével semigroupnek nevezzük; ha létezik identitás és minden elemhez inverz tartozik, akkor monoidról, illetve csoportból beszélünk. Az asszociativitás alapvető a kategóriaelméletben is, ahol a morphizmusok összegyűjtése műveletként viselkedik, és összetett műveletek esetén a gyermekek összefűzését teszi lehetővé.

Alkalmazások széles köre van: az algebrai szerkezetek leírása, a számítástechnika függvénykompozícióinak viselkedése, valamint a programozási nyelvekben az operátorok és aggregációk értelmezése. Megértése alapvető a strukturált és előre kiszámítható számítási elrendezésekhez.