waarschijnlijkheidsdichtheid

Waarschijnlijkheidsdichtheid (PDF) beschrijft de verdeling van een continue willekeurige variabele X met een functie f. De voorwaarden zijn f(x) ≥ 0 voor alle x en ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. De kans dat X zich in het interval [a,b] bevindt, is P(a ≤ X ≤ b) = ∫_{a}^{b} f(x) dx. Voor continue variabelen is de kans dat X exact een specifieke waarde x is, nul.

De densiteit geeft dus kansen aan intervallen, niet aan individuele punten. Een dichtheidsfunctie is geen kanswaarde op een enkel punt, maar een middel om via integratie kansen over intervallen te bepalen.

Joint densities beschrijven de verdeling van meerdere variabelen. Voor X en Y geldt f_{X,Y}(x,y) met ∫∫ f_{X,Y}(x,y) dx dy = 1. Marginale densities obtained door integreren: f_X(x) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dy. Onafhankelijkheid vereist f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y). Samenvattingen van verwachtingen en variaties: E[X] = ∫ x f(x) dx, Var(X) = E[(X−E[X])^2] = ∫ (x−μ)^2 f(x) dx.

Transformatie van variabelen: als Y = g(X) met een monotone transformatie, dan f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) |d/dy g^{-1}(y)|. Voor vectoren geldt een vergelijkbare regel via de Jacobiaan.

Enkele veelvoorkomende voorbeelden zijn de normale verdeling (f(x) = 1/(√(2π)σ) exp(−(x−μ)^2/(2σ^2))), de uniforme verdeling op [a,b], en de exponentiële verdeling met parameter λ. De waarschijnlijkheidsdichtheid is dus een beschrijving van de verdeling van een continue variabele, met normalisatie en kansen berekend via integralen.