verwachtingsberekeningen

Verwachtingsberekeningen zijn berekeningen van de verwachtingswaarde of verwachte waarde van een kansvariabele. De verwachting geeft aan wat men op de lange termijn gemiddeld terugziet wanneer een proces vele keren wordt herhaald. Verwachtingen worden gebruikt om onzekerheid te kwantificeren en beslissingen te ondersteunen. Ze onderscheiden discrete en continue kansverdelingen.

Discrete verwachting: voor een variabele X met mogelijke waarden x en bijbehorende kansen P(X=x) is de verwachtingswaarde E[X] = ∑ x P(X=x). Voor een eerlijke dobbelsteen is E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Let op: de verwachting is niet noodzakelijkerwijs een mogelijke waarde van X.

Continue verwachting: voor een continue variabele met dichtheid f(x) is E[X] = ∫ x f(x) dx, over het hele domein. Bijvoorbeeld bij een uniforme verdeling op [0,1] is E[X] = ∫_0^1 x dx = 1/2.

Eigenschappen: lineariteit van verwachting geldt: E[aX + b] = a E[X] + b en E[∑ c_i X_i] = ∑ c_i E[X_i]. De wet van de totale verwachting luidt: E[X] = E[E[X|Y]]. Indicatorvariabelen hebben E[1_A] = P(A). Het begrip verwachtingswaarde is nauw verbonden met variantie: Var(X) = E[X^2] − (E[X])^2.

Toepassingen en berekeningen: verwachtingen kunnen uit data worden geschat met het steekproefgemiddelde. Monte Carlo-simulaties gebruiken herhaalde simulaties om E[X] te schatten. In financiën wordt de verwachtingswaarde gebruikt bij prijsstelling, risicobeoordeling en besliskunde.