veldkarakteristiek

Veldkarakteristiek is een eigenschap van een veld F die aangeeft hoe de optelling in F werkt voor het eenheidsgetal 1 van F. Het is gedefinieerd als het kleinste positieve getal n zodanig dat de som van n kopieën van 1 gelijk is aan 0 in F; bestaat zo’n getal niet, dan is de karakteristiek van F gelijk aan 0.

Belangrijke eigenschap is dat de karakteristiek altijd 0 of een priemgetal is. Als er een dergelijk n bestaat, dan geldt n1 = 0, en n moet een priemgetal zijn; bij een verdeling n = ab met a,b > 1 volgt een contradictie omdat a1 en b1 dan niet nul hoeven te zijn maar hun product (a1)(b1) gelijk zou zijn aan n1 = 0.

Gerelateerd aan subvelden: als de karakteristiek p > 0 is, bevat F altijd een onderveld dat isomorphic is aan het eindige veld F_p; dit onderveld ontstaat via de natuurlijke ringhomomorfisme Z → F, k ↦ k·1, met kern pZ. Bij karakteristiek 0 bevat F een kopie van het grotere getalveld Q (rationele getallen).

Voorbeelden en gevolgen: R, Q en C hebben karakteristiek 0. Een veld met karakteristiek p > 0 bevat modulo-p getallen en heeft vaak grootte q = p^n als het een eindig veld is (GF(p^n)). De karakteristiek beïnvloedt algebraïsche eigenschappen zoals de werking van de deling door getallen en de geldigheid van bepaalde eigenschappen van polynomen (bijv. de frobenius-morfisme x ↦ x^p; de gedrag van afgeleiden in karakteristiek p).

Algemene opmerking: karakteristiek blijft bestaan onder veldoverring; een velduitbreiding behoudt dus dezelfde karakteristiek als het grondveld.