vektorveier

Vektorveier er begrepet innen matematikk og fysikk som beskriver kurver som følger et vektorfelt i et rom. En vektorvei er en integralkurve av vektorfeltet: hvis F er et vektorfelt definert på et område D i R^n, er en kurve γ: I → D en vektorvei slik at γ'(t) = F(γ(t)) for alle t i I, med initialbetingelsen γ(0) = x0.

Slike kurver kalles integral kurver, og bevegelsens bane beskrives ofte via en flow Φ_t slik at Φ_t(x0) = γ(t). Eksistens og unikhet følger under vanlige forhold som Lipschitz-kontinuitet til F. Kroppen av alle integral kurver gir en dynamikk som beskriver hvordan punkter beveger seg i rommet i takt med vektorfeltet.

Eksempler: For konstant vektorfelt F(x) = c, er vektorveiene rette linjer γ(t) = x0 + t c. For vektorfeltet F(x) = (-y, x) i planet, oppstår cirkler rundt origo; løsningen kan skrives eksplisitt som γ(t) = (x0 cos t - y0 sin t, x0 sin t + y0 cos t) for passende startpunkt. Slike eksempler illustrerer hvordan feltet styrer kurvenes retning og form.

Anvendelser og forhold til andre begreper: Vektorveier brukes i dynamiske systemer og fluiddynamikk for å beskrive bevegelse av partikler i et kraftfelt. I fluiddynamikk skilles ofte mellom pathlines (partikkelbaner) og streamlines (kurver tangent til feltet ved et bestemt tidspunkt). I tidsavhengige felt er disse konseptene distinkte, mens i stasjonære felt kan de ha lignende former.

Beregningsmetoder: Analytisk løsning når F er enkel; ellers brukes numeriske metoder som Eulers metode eller Runge–Kutta for å approximere integralkurvene. I praksis brukes vektorveier i simuleringer av strømninger, partikkelbevegelser og robotbaneplanlegging.