vastepuntiteratie

Vaste-puntiteratie, ook wel vastepuntiteratie genoemd, is een numerieke methode om een vaste punt x* van een functie g te vinden, dat wil zeggen een oplossing van x* = g(x*). Vaak wordt een niet-lineaire vergelijking f(x) = 0 geherformuleerd als x = g(x), waarna de iteratie x_{n+1} = g(x_n) wordt toegepast. De methode is eenvoudig in opzet en kan in veel toepassingen dienen als bouwsteen voor het oplossen van niet-lineaire problemen.

Convergentie vereist doorgaans dat g op een bepaald interval I in zichzelf wordt gezet en dat g een contractie is, oftewel er geldt een Lipschitz-constante L met 0 <= L < 1 zodat |g(x) - g(y)| <= L |x - y| voor alle x, y in I. Onder deze voorwaarde stimmen er zich gegarandeerd unieke vaste punt x* af en convergeren alle beginwaarden x0 in I naar x*. De fout wordt ongeveer per stap met een factor L vermenigvuldigd, waardoor de convergentiesnelheid lineair is en in veel gevallen snel verloopt.

Stopcriteria bestaan meestal uit het controleren van |x_{n+1} - x_n| < tol of het evalueren van |f(x_{n+1})| < tol. Een belangrijk aandachtspunt is dat de methode niet convergeert als g niet-contractief is of als het vaste punt niet in het gekozen interval ligt.

Toepassingen zijn wijdverbreid bij het oplossen van niet-lineaire vergelijkingen en als bouwsteen in meer geavanceerde numerieke methoden. Een bekend voorbeeld is het oplossen van x = cos(x) door g(x) = cos(x).