sentralgrenseteoremen

Sentralgrenseteoremen, kjent som central limit theorem i engelsk, er en grunnleggende setning i sannsynlighetsteori. Den beskriver hvordan summen av mange uavhengige tilfeldige størrelser oppfører seg, og at den ofte blir normalfordelt når antallet størrelser blir stort.

Den vanligste formen sier at hvis X1, X2, ..., Xn er uavhengige og identisk fordelt med forventning μ og varians σ^2, og S_n = ∑_{i=1}^n X_i, så konvergerer (S_n − n μ)/(σ √n) i fordeling mot en standard normal N(0,1) når n → ∞. Tilnærmingen for prøvens gjennomsnitt X̄_n = S_n/n er dermed at √n (X̄_n − μ)/σ også følger N(0,1) i grensesnittet. En mer generell versjon, Lindeberg–Feller-teoremen, gjelder for uavhengige, men ikke nødvendigvis identisk fordelt, variabler under en viss Lindeberg-betingelse.

Intuisjon og konsekvenser: Teoremet forklarer hvorfor summen av mange uavhengige, små bidrag ofte blir normalfordelt, selv om bidragene selv ikke er normalt fordelt. Det begrunner bruken av normal småprøve-forventninger og gir underlag for konfidensintervaller og hypotesetesting i store prøver.

Varianter og begrensninger: Klassisk CLT krever finite varians og visse uavhengighetsforhold; avhengige data eller tunge hale-fordelinger (uendelig varians) kan kreve andre antagelser eller tilnærminger. Det finnes også utvidelser som Berry–Esseen-sats og CLT-er for avhengige sekvenser og trekantede matriser.

Historisk har tidlige ideer blitt utviklet av blant andre de Moivre, Laplace og Gauss, før teoremet ble formelt etablert og fått sitt moderne navn gjennom 1800- og 1900-tallets arbeid med sannsynlighetsteori.