sannsynlighetstetthetsfunksjon

Sannsynlighetstetthetsfunksjon, ofte forkortet som PDF (from norsk: sannsynlighetstetthetsfunksjon), er en ikke-negativ funksjon f som beskriver sannsynligheten for en kontinuerlig stokastisk variabel X. For hvilket som helst interval [a, b] gjelder P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Helheten av f over hele den rette linjen er lik 1, dvs. ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. Dette innebærer at f gir tettheten av sannsynlighet rundt hvert verdinøyaktig punkt.

Kumulativ fordeling, eller CDF, er definert som F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt. Hvis F er differentiabel, er f i ett punkt lik den deriverte av F der; det vil si f(x) = F′(x). Siden f er definert som en tetthet, har den enheter som er 1/enhet i x, og støtten til f beskriver hvor variable X har sannsynlighet tilstede.

Egenskaper og beregninger inkluderer forventet verdi E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx og variansen Var(X) = ∫_{-∞}^{∞} x^2 f(x) dx − (E[X])^2, forutsatt at integrasjonene konvergerer. Tilnærmede midler som tidligere nevnte, er også viktige: f må være ≥ 0 og integrere til 1 for å være en gyldig PDF.

Eksempler på vanlige PDF-er er standard normalfordeling f(x) = (1/√(2π)) e^{-x^2/2}, uniform for x i [a, b] hvor f(x) = 1/(b−a), og eksponensiell fordeling f(x) = λ e^{−λx} for x ≥ 0. Bruksområder inkluderer modellering av kontinuerlig data, parametiske familier (som normal og eksponensiell), samt ikke-parametrisk estimering som kernel density estimation (KDE).