rotatietheore

Rotatietheore verwijst naar een reeks meetkundige stellingen over rotaties in de Euclidische ruimte. De theorie onderzoekt wat wel en niet behouden blijft wanneer objecten worden geroteerd rondom een vast punt in het vlak of rondom een as in drie dimensies.

Het centrale principe is dat rotaties isometrieën zijn. Ze bewaren afstanden en hoeken. In R^n is een rotatie een orthogonale lineaire transformatie met determinant +1, waarbij R^T R = I en det(R) = 1. In het tweedimensionale vlak wordt een rotatie met hoek θ om de oorsprong beschreven door de matrix [cosθ -sinθ; sinθ cosθ]. Zo’n transformatie behoudt lengte en oriëntatie.

Concreet betekent dit dat een figuur dat wordt geroteerd congruent blijft aan het origineel; oppervlakten en randlengtes blijven gelijk, en de symmetrieën met betrekking tot het rotatiecentrum worden duidelijk. De rotatie draait het object mee en verplaatst het puntenspectrum langs een kring rondom het centrum.

Samensmelting van rotaties: in het vlak geldt dat de compositie van twee rotaties een rotatie oplevert met hoek θ1 + θ2 (of een veelvoud daarvan), wat weer een rotatie is. In drie dimensies kan de samenstelling van rotaties resulteren in een rotatie om een bepaalde as, hoewel de geometrie daarbij complexer kan zijn.

Toepassingen van rotatietheorie bevinden zich in computergraphics, CAD, robotica, navigatie en kristallografie. Historisch zijn rotaties bestudeerd sinds de oudheid; de formele wiskunde maakte ze volledig begrijpelijk met lineaire algebra in de 19e eeuw, onder meer via matrixrepresentaties, Euler-hoeken en quaternions.