przestrzenie

Przestrzenie to pojęcie używane w matematyce i fizyce do opisania zbiorów punktów obdarzonych dodatkowymi strukturami umożliwiającymi analizę geometryczną i analityczną. W najprostszej formie przestrzeń to zbiór punktów, ale dopisana struktura pozwala mówić o odległościach, kierunkach i długościach lub funkcjach między punktami. W matematyce wyróżnia się wiele rodzajów przestrzeni: przestrzenie wektorowe, które są zestawami z działaniami dodawania i mnożenia przez skalar; przestrzenie metryczne, wyposażone w funkcję odległości spełniającą warunki metryki; przestrzenie normowane i Banachowskie, gdzie metryka wyznaczona jest przez normę, a kompletność prowadzi do Banacha; przestrzenie Hilberta, będące kompletne przestrzenie wektorowe z iloczynem skalarnym; oraz przestrzenie funkcyjne, takie jak C[a,b], L^p[a,b], Sobolev W^{k,p}. Przykłady obejmują przestrzeń euklidesową R^n z metryką euklideską, torusy T^n i inne obszary topologiczne. W fizyce istnieje także pojęcie czasoprzestrzeni: w ogólnej relatywistyce czterowymiarowa czasoprzestrzeń opisuje strukturę czasu i przestrzeni. Geneza terminu sięga geometrii starożytnej, ale rozwój nastąpił w XX wieku wraz z topologią, analizą funkcjonalną i geometrią różniczkową. Przestrzenie stanowią fundament wielu dziedzin matematyki i jej zastosowań.