progresiones

Progresiones es un término amplio que se utiliza en distintos campos para describir secuencias ordenadas que siguen una regla o patrón. En general, una progresión ofrece una pauta para generar o prever elementos futuros a partir de los anteriores.

En matemáticas, una progresión es una sucesión de números que se genera de forma sistemática. Las dos progresiones más comunes son las aritméticas y las geométricas. En una progresión aritmética, la diferencia entre términos consecutivos es constante, llamada d. El n-ésimo término se escribe como a_n = a_1 + (n-1)d, y la suma de los primeros n términos es S_n = n/2 (a_1 + a_n). En una progresión geométrica, la razón entre términos consecutivos es constante, llamada r. El n-ésimo término es a_n = a_1 r^{n-1}, y la suma de los primeros n términos es S_n = a_1 (1 - r^n) / (1 - r) para r ≠ 1. Ejemplos: 2, 5, 8, 11 es una progresión aritmética con d = 3; 3, 6, 12, 24 es una progresión geométrica con r = 2.

En música, las progresiones de acordes describen la sucesión de acordes que sostiene una armonía a lo largo de una pieza. Las progresiones de grados, como I–IV–V–I en una tonalidad mayor, son fundamentales para el movimiento armónico y la cadencia. También se estudian según su función (tónica, subdominante, dominante) y pueden variar para cambiar el color o la tensión de la música.

Las progresiones encuentran aplicación en diversas áreas, desde el análisis matemático de secuencias hasta la composición musical y la teoría de la armonía.