partitieindelingen

Partitie-indelingen is een wiskundig begrip dat verwijst naar de wijze waarop een verzameling of een getal kan worden opgesplitst in niet-lege, wederzijds uitsluitende onderdelen die samen de oorspronkelijke eenheid vormen. Het begrip speelt een centrale rol in combinatoriek en getaltheorie en komt ook voor in informatica en statistiek, waar structuur en classificatie centraal staan.

Er zijn twee hoofdinterpretaties. Ten eerste zijn er partities van een verzameling: een partitie van een verzameling S is een collectie van niet-lege disjunkte blokken waarvan de vereniging S is. Elk element van S behoort tot precies één blok. Het aantal partities van een verzameling met n elementen is de Bellgetal B_n; het aantal partities met precies k blokken wordt gegeven door de Stirlinggetallen van de tweede soort S(n,k). Deze partities kunnen worden gezien als equivalence-relaties op S of als surjectieve functies naar een gereduceerde labelset.

Ten tweede bestaan partities van een geheel getal: een integer partition is een manier om een positief geheel getal n te schrijven als som van positieve gehele getallen, waarbij de volgorde er niet toe doet. Voorbeelden van n=4 zijn 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 en 1+1+1+1; het aantal partities wordt aangeduid met p(n). Partities kunnen grafisch worden weergegeven met Ferrers- of Young-diagrammen en hebben eigenschappen zoals de conjugaat-partitie. De partitie-genererende functie is een productformule ∏_{m≥1} 1/(1-x^m).

Toepassingen en structuur: de verzameling van alle partities van een vast object bouwt een partitie-lattice onder de refinements-relatie. In de praktijk gebruiken wiskundigen partities om problemen in nummertheorie te bestuderen, in combinatie met q-series en modulariteit; in informatica en data-analyse dienen partities als model voor clustering en onderverdeling van toestanden of gegevens.

Zie ook: Bellgetallen, Stirlinggetallen, Young-diagrammen.