normvormen

Normvormen is een term uit de algebraïsche getaltheorie die verwijst naar een klasse van homogen vormen die de algebraïsche norm van een getalveld oproepen. In een getalveld K over Q met graad n kiezen we een Q-basis b1, ..., bn. De norm N_{K/Q}(α) van α ∈ K is het product van alle conjugaten van α. Voor α geschreven als α = x1 b1 + ... + xn bn met xi ∈ Z definieert men de normvorm F(x1, ..., xn) = N_{K/Q}(α). Als {b1, ..., bn} een integrale basis van de voltooide ring O_K is, levert F(x) ∈ Z voor x ∈ Z^n en N_{K/Q}(α) = F(x).

F is een homogen vorm van graad n en de coëfficiënten zijn geheel wanneer de basis integraal is. Normvormen worden vaak bestudeerd via normvormvergelijkingen F(x) = m, waarbij m een gegeven geheel getal is. Zulke vergelijkingen worden Thue-vergelijkingen genoemd en dienen om representaties van m als normen van algebraïsche integers te vinden.

Voorbeeld: K = Q(√d) met basis {1, √d} geeft F(a, b) = N(a + b√d) = a^2 − d b^2. De vergelijking F(a, b) = m is dan a^2 − d b^2 = m. Dit type vergelijking verschijnt bij het oplossen van Diophantische problemen en bij het bestuderen van de structuur van O_K.

Verschillende integrale basissen leveren via GL(n, Z)-transformaties equivalente vormen op, zodat de arithmetische inhoud van de normvorm onafhankelijk is van de specifieke keuze van basis. Normvormen vormen zo een brug tussen de algebraïsche structuur van getalvelden en concrete representaties van getallen door polynomen.

---