minimizzatori

Un minimizzatore di una funzione f definita su uno spazio X è un punto x* in X tale che f(x*) ≤ f(x) per ogni x in X. L’insieme dei minimizzatori è detto argmin f e, se esiste, il valore minimo è min_{x∈X} f(x). Se un minimo non è raggiunto, si parla di valore minimo all’infinito; in tal caso si considera inf f.

Esistenza: In uno spazio euclideo di dimensione finita, se X è compatto e f è continua, allora esiste almeno un minimizzatore (teorema di Weierstrass). In contesti più generali si usano condizioni come coercività, continuità inferiore semicontinua e convessità per garantire l’esistenza di minimizzatori. In assenza di tali ipotesi, potrebbe non esserci minimizzatore.

Proprietà: Se f è convessa e X è convesso, l’insieme Argmin f è convesso. Se f è strettamente convessa, il minimizzatore è unico. In caso differenziabile, un minimo non vincolato satisfte grad f(x) = 0; con vincoli si ricorre alle condizioni di ottimalità di Lagrange o di KKT; in problemi non differenziabili si utilizzano subgradienti.

Metodi: Per problemi senza vincoli, si impiegano metodi di ottimizzazione locale come la discesa del gradiente e le sue varianti. Per problemi vincolati, si usano proiezioni, metodi di moltiplicatori di Lagrange o tecniche di rilassamento. In contesti variationali, i minimizzatori sono soluzioni di equazioni come l’equazione di Eulero-Lagrange.

Applicazioni: I minimizzatori appaiono in analisi matematica, economia, ingegneria e apprendimento automatico, dove l’addestramento di modelli e la risoluzione di problemi di ottimizzazione mirano a trovare i minimi di funzioni di costo o perdita.