matrixvormen

Matrixvormen verwijzen naar standaardrepresentaties van een matrix die haar structuur zichtbaar maken en berekeningen vergemakkelijken. Voor een gegeven n×m-matrix A bestaan er verschillende vormen die elk inzicht geven in rang, oplossingen van systemen en de eigenwaarde-structuur.

Rij-echelonvorm (REF) en gereduceerde rij-echelonvorm (RREF) zijn veelgebruikte vormen. REF ontstaat doorgaans bij Gaussische eliminatie: elke niet-nul rij heeft een pivot (leading entry) die naar rechts verschuift bij elke lagere rij, en alle elementen onder pivots zijn nul. RREF stelt bovendien in elke pivot een 1 en maakt alle elementen boven en onder die pivot nul. RREF is uniek, terwijl REF dat niet hoeft te zijn.

Diagonaalvormen bestrijken matrices die vergelijkbaar zijn met een diagonaal matrix: er bestaat een invertibele P zodat P^-1 A P diagonaal is. Een dergelijke diagonaalisering is mogelijk wanneer A voldoende eigenvectoren heeft en kan worden getransformeerd naar een basis van eigenvectoren. De diagonaal bevat de eigenwaarden van A.

Jordan-vorm is een andere canonieke vorm onder gelijkenis. Elke vierkante matrix is onder gelijkenis vergelijkbaar met een Jordan-formatie, opgebouwd uit Jordan-blokken die bij elke eigenwaarde horen. Als er genoeg lineaire onafhankelijke eigenvectoren zijn, kan de matrix diagonaal zijn; anders blijven enkele Jordan-blokken groter dan 1.

Andere vormen bestaan onder meer de Smith-normale vorm voor matrices met gehele getallen en andere canonical forms onder gelijkenis, die structuur verschaffen in algebraïsche context.

Toepassingen en beperkingen: matrixvormen dienen om lineaire systemen op te lossen, de rang en dimensies van ruimten vast te stellen, en informatie over eigenwaarden en schaduwteken te verkrijgen. In numerieke berekeningen kunnen omzettingen in deze vormen gevoelig zijn voor fouten; daarom worden stabiele algoritmes en contextspecifieke vormen gekozen.