konjugiertlinear

Konjugiertlinear, auch als antilinear bezeichnet, beschreibt eine Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen, die Additivität erfüllt und deren Homogenität durch Konjugation der Skalare bestimmt ist. Formal bedeutet dies: Für alle Vektoren v, w in V und alle Skalare α, β aus den komplexen Zahlen gilt T(α v + β w) = ᾱ T(v) + β̄ T(w). In der speziellen Schreibweise folgt daraus T(α v) = ᾱ T(v) für alle α in C. Eine solche Abbildung wird oft auch als konjugiertlinear bezeichnet.

Beispiele und Eigenschaften: Eine der bekanntesten konjugiertlinearen Abbildungen ist die komplexe Konjugation κ: C → C, κ(z) = z̄. Diese Abbildung erfüllt κ(α z) = ᾱ κ(z). Die Summe zweier konjugiertlinearer Abbildungen ist erneut konjugiertlinear, und die Verkettung einer konjugiertlinearen Abbildung mit einer linearen Abbildung ergibt ebenfalls eine konjugiertlineare Abbildung. Die Komposition in umgekehrter Reihenfolge von linearen und konjugiertlinearen Abbildungen kann je nach Anordnung linear oder konjugiertlinear sein.

Relation zu Dualräumen und Innerer Produkt: In komplexen Vektorräumen bestehen oft zwei Arten von Funktionalen: die linearen Funktionale, die den Raum V*, und die konjugiertlinearen Funktionale, die man als bar V* oder V^⊛ bezeichnet. Im Kontext eines komplexen Hilbertraums ist das innere Produkt üblicherweise linear im ersten Argument und konjugiertlinear im zweiten oder umgekehrt je nach Konvention, was die Rolle konjugiertlinearer Strukturen in der Theorie beeinflusst.

Verwendung: Konjugiertlineare Operatoren treten in der Quantenmechanik (z. B. in der Behandlung von Bras vs. Kets) und in der funktionalen Analysis auf, insbesondere bei der Beschreibung von Antilinearität in Dualräumen und bei adjungierten Operatoren.