kerndecompositie

Kerndecompositie is een wiskundig concept dat verwijst naar de indeling van een vectorruimte of ruimtelijke structuur in een kernendeel en een complementaire deel met betrekking tot een lineaire operator. Gegeven een lineaire operator T: V → V bestaan er vaak subruimtes zodat V = Ker(T) ⊕ W, waarbij Ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0} de kernel van T is en W een andere subruimte die samen met Ker(T) de hele ruimte opvult. In finite-dimensional ruimten bestaat altijd zo’n complement; de keuze van W is niet uniek.

Deze decompositie maakt de werking van T inzichtelijk: T beperkt tot W is injectief, en Im(T) ≅ W. De rang-nulliteitstelling geeft dim V = dim Ker(T) + dim Im(T). Bij het oplossen van lineaire systemen T(v) = b geldt: b moet in Im(T) liggen; als dat zo is, levert elke oplossing een scheiding v = v_h + v_p waarbij v_h ∈ Ker(T) (de homogene oplossing) en v_p een particulaire oplossing is.

Een soortgelijke kerndecompositie verschijnt in differentiaalvergelijkingen: de algemene oplossing van L[y] = f bestaat uit de som van een homogene oplossing y_h (L[y_h] = 0) en een bijzondere oplossing y_p (L[y_p] = f).

In functionele analyse en bij oneindig-dimensionale ruimten kan kerndecompositie via een complementaire subruimte ook worden gebruikt om kern en afbeelding van een integraal- of differentiaaloperator te onderscheiden, zodat de operator op het complement een injektieve of invertibele werking heeft. Let wel: de keuze voor het complement is niet uniek en in de oneindige-dimensionele setting gelden extra topologische voorwaarden.