kansverwachtingen

Kansverwachtingen is een begrip uit de kansrekening en statistiek dat verwijst naar de verwachte uitkomst van een random variabele over herhaalde, onafhankelijke waarnemingen. In de meeste Nederlandse teksten wordt hiervoor ook de term verwachte waarde gebruikt. De kansverwachting is een samenvattende maat die aangeeft wat men op lange termijn gemiddeld mag verwachten, wanneer men een proces telkens volgens dezelfde probabilistische regels uitvoert.

Voor een discrete random variabele X met mogelijke waarden x_i en bijbehorende kansen p_i geldt de kansverwachting als E[X] = sum over i van x_i p_i. Bij een continue random variabele X met dichtheidsfunctie f geldt E[X] = ∫ x f(x) dx, waarbij de integratie over alle mogelijke waarden loopt. De kansverwachting is een lineaire operator, wat betekent dat E[aX + b] = aE[X] + b en E[X + Y] = E[X] + E[Y] voor willekeurige variabelen X en Y (waaronder onafhankelijkheid niet altijd vereist is).

Een bekend voorbeeld is een eerlijke dobbelsteen: de uitkomsten zijn 1 tot en met 6 met gelijke kans, dus E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Een andere illustration: bij een kopbalmeting met p kans op kop, wordt bij n onafhankelijke worpen verwachtelijk aantal koppen E[H] = np.

Kansverwachtingen spelen een centrale rol in besluitvorming onder onzekerheid, financiën (verwachte rendement), statistische modellering en risicoanalyse. Het begrip onderscheidt zich van de kans op een enkele gebeurtenis en van de echte waarneming, omdat het een langetermijngemiddelde vertegenwoordigt dat zich pas bij veel herhalingen concrete uitkomsten kan manifesteren.