interpretatiedomeinen

Interpretatiedomein is een term die vooral gebruikt wordt in logica, wiskundige modellering en denotationale semantiek. Het verwijst naar de verzameling objecten waarover variabelen in een formele taal kunnen variëren. In de context van modeltheorie wordt het vaak aangeduid als domein van discourse en vormt het de basis voor de betekenis van symbolen en formules.

In een structuur M bestaat het interpretatiedomein D samen met een interpretatie van de symbolen van de taal. Constante symbolen worden geïnterpreteerd als elementen van D; een n-argument functieteken wordt geïnterpreteerd als een functie D^n → D; een n-plaats predikaat wordt geïnterpreteerd als een relatie op D^n. Een formule is waar in M onder een toewijzing van waarden aan variabelen als de interpretaties van alle onderdelen in overeenstemming zijn. De satisfactie-relatie M, s |= φ geeft aan wanneer φ waar is onder een toewijzing s.

In denotationale semantics voor programmeertalen dient het interpretatiedomein als de wiskundige basis voor de betekenis van programma’s. Domeinen worden vaak opgebouwd met een laagste element ⊥ om ongedefinieerde waarden weer te geven. Voor recursie geldt dat de betekenis van een programmaonderdeel wordt gegeven door een vaste punt van een monotone functie op het domein. Dit maakt correcte interpretaties van loops en recursie mogelijk.

Een belangrijke eigenschap is dat de keuze van het interpretatiedomein invloed heeft op wat als waar, mogelijk en definieerbaar wordt beschouwd en op de mogelijkheden tot formale verificatie en modelchecking. Domeinen moeten aansluiten bij de gewenste operaties en bij de logische regels van de taal.

Voorbeelden: in een eerste-orde logica met D = {a, b, c} worden constante symbolen aan elementen van D toegekend, een binair functieteken f aan een functie D^2 → D en een binair predicaat P aan een subset van D^2. In denotationale semantiek voor talen met integers en booleans kan D bijvoorbeeld ℕ ⊥ zijn, met ⊥ voor een ongedefinieerde waarde.