injektywn

Injektywnność, często określana także jako właściwość iniektywna, odnosi się do odwzorowania, które jest jedno-do-jednego. W kontekście funkcji f: A → B funkcja jest iniektywna wtedy i tylko wtedy, gdy różne elementy dziedziny mapują do różnych obrazów: dla wszystkich x1, x2 ∈ A, f(x1) = f(x2) implicuje x1 = x2. Inaczej mówiąc, f jest w stanie rozróżnić każdą wartość w dziedzinie poprzez unikatowy obraz w zbiorze kodującym.

Równoważnym sposobem zapisu jest: f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2. W praktyce oznacza to, że f nie „zlewa” dwóch różnych argumentów do tego samego wyniku. Jeżeli ograniczyć f do swojego obrazu Im(f) ⊆ B, istnieje odwrotna funkcja f⁻¹: Im(f) → A, spełniająca f⁻¹(f(x)) = x dla każdego x ∈ A.

Własność iniektywności nie wymaga, aby funkcja była surjektywna (na przykład na całym B). Funkcja może być iniektywna bez bycia bijektywna, i odwrotnie. W drugą stronę, złożenie dwóch iniektywnych funkcji jest również iniektywne. W teorii kategorii iniektywność bywa porównywana do pojęcia monomorfizmu.

Przykłady: f(x) = 2x: R → R jest iniektywna. f(x) = x²: R → R nie jest iniektywna (ponieważ f(−1) = f(1)). Na ograniczonym zbiorze, na przykład f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = x² jest iniektywna. Iniektywność jest fundamentalnym pojęciem w analizie funkcji, algebraicznych strukturach i teorii funkcji odwrotnych.

---