hatfunctie

Hatfunctie is een eenvoudige driehoekige of tentvormige functie die vaak wordt gebruikt als basisfunctie in wiskunde en signaalverwerking. In het Engels wordt deze functie vaak de triangular or hat function genoemd. Ze heeft compacte ondersteuning en een kenmerkende top op een centrale positie, waardoor ze als bouwsteen dient bij lineaire interpolatie en bij de constructie van basissen.

De meest gangbare definitie op de gehele reële lijn is h(x) = max(0, 1 - |x|). Deze standaardversie heeft zijn steun op het interval [-1, 1] en bereikt een hoogte van 1 bij x = 0. Een equivalente, veelgebruikte formulering is piecewise: h(x) = x + 1 voor -1 ≤ x ≤ 0, h(x) = 1 - x voor 0 ≤ x ≤ 1, en h(x) = 0 elders. Varianten bestaan door te schalen of te verschuiven: h_{c,a}(x) = max(0, 1 - |x - c|/a) met a > 0. Dan heeft de functie steun op [c - a, c + a] en hoogte 1 bij x = c; de integraal over R bedraagt a.

Eigenschappen van de hatfunctie zijn onder meer non-negatief, continu en Lipschitz-continu met Lipschitz-constante 1. De functie is niet differentiabel op de knooppunten -1, 0 en 1 (bij de standaarddefinitie). Omdat de ondersteuning beperkt is, is de hatfunctie ideaal als knooppuntbasis of als kernel in kleinschalige smoothing.

Toepassingen omvatten onder meer de B-splinebasis van orde 1 (eenvoudige lineaire basisfuncties), bouwstenen in de eindige-elementenmethode (P1-elementen), en als eenvoudige driehoekige kernel in smoothing en kerneldichtheidschatting. Door herhaaldelijke convolutie kan men hogere orde B-splinebasisfuncties verkrijgen. Zie ook: tentfunctie, driehoekfunctie, B-spline van orde 1.