ganzzahl

Eine Ganzzahl, oft mit Z bezeichnet, ist eine Zahl ohne Bruchteil, die negativ, positiv oder Null sein kann. Beispiele: -5, 0, 17. Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit ihren negativen Anteilen die Menge der Ganzzahlen.

Ganzzahlen sind abgeschlossen unter Addition und Multiplikation; jedes Element hat ein additives Inverses. (Z, +) ist eine unendliche zyklische Gruppe; (Z, +, ×) ist ein kommutativer Ring mit Eins. Die einzigen Einheiten sind 1 und -1. Wichtige Konzepte in der Zahlentheorie sind der größte gemeinsame Teiler und die Primzahlen in Z; Division führt im Allgemeinen nicht zu einer Ganzzahl.

Es gibt eine totale Ordnung, die mit der Addition verträglich ist; Z bildet einen geordneten Ring. Dadurch kann man Vergleiche wie a ≤ b sinnvoll definieren, und aus 0 ≤ a und 0 ≤ b folgt 0 ≤ ab.

Teilmengen und Anwendungen: Die Menge der natürlichen Zahlen N0 = {0,1,2,...} ist eine Untermenge von Z; jedes negative Integer gehört ebenfalls zu Z. Anwendungen finden sich in Zahlentheorie, modularer Arithmetik, Kryptographie und vielen Algorithmen, die diskrete Größen behandeln.

Konstruktion: Eine gängige Definition konstruiert Z als Menge der Differenzen a − b mit a,b aus den natürlichen Zahlen, wobei man zwei Differenzen als gleich betrachtet, wenn sie denselben Wert ergeben. In diesem Sinn entspricht jeder Wert der Form a − b eindeutig einer Ganzzahl.